2전력계법 유효·피상전력, 역률 개선 콘덴서, Y-Δ 기동

문제

【문제 3】 다음 물음에 답하시오. (단, 계산문제의 경우 답안 작성 시 소수점 셋째자리에서 반올림하여 둘째자리까지 작성하시오.) (30점)

물음 1) 아래 그림과 같이 선간전압이 380[V], 60[Hz]인 평형 3상 전원에 평형 부하인 옥내소화전 펌프용 3상 유도 전동기가 연결되어 있다. 전동기 부하에 전달되는 전체 전력을 측정하기 위하여 전력계 W1과 W2를 사용하는 2전력계 방법으로 측정한 값이 P₁ = 500[W], P₂ = 1000[W]이다. 다음 물음에 답하시오. (14점)

(1) 3상 유도 전동기 부하에서 소비되는 유효전력[W]을 구하시오. (2점) (2) 3상 유도 전동기 부하에 공급되는 피상전력[VA]을 구하시오. (2점) (3) 3상 유도 전동기 부하의 역률을 구하시오. (2점) (4) 3상 유도 전동기 부하의 역률을 0.95(지상)로 개선하기 위하여 동일 용량의 커패시터(전력용 콘덴서) 3개를 Δ 결선으로 연결하여 구현하는 경우 1상 당 커패시터 정전용량[μF]은 얼마인지 구하시오. (2점) (5) Y-Δ 기동법으로 3상 유도전동기를 기동하는 경우 Y 결선에서의 기동 전류는 Δ 결선에 비하여 몇 배인지 구하시오. (2점) (6) Y-Δ 기동법으로 3상 유도전동기를 기동하는 경우 Y 결선에서의 기동 토크는 Δ 결선에 비하여 몇 배인지 구하시오. (2점) (7) 3상 유도전동기의 회전자계의 회전 속도가 2000[rpm]이고 회전자의 회전속도는 1900[rpm] 이라면 공극 출력과 기계적 출력의 비인 2차측 효율[%]은 얼마인지 구하시오. (단, 기계적 손실은 무시한다.) (2점)

핵심 키워드

• 2전력계법: $P = P_1 + P_2$, $P_r = \sqrt{3}(P_2 - P_1)$, $P_a = 2\sqrt{P_1^2 + P_2^2 - P_1 P_2}$
• 콘덴서: $Q_c = P(\tan\theta_1 - \tan\theta_2)$, Δ결선 1상 $C = \dfrac{Q_c/3}{\omega V^2}$
• Y-Δ: 전류·토크 모두 1/3배
• 2차 효율 $\eta_2 = 1 - s = N/N_s$

답안

(1) 유효전력

$$P = P_1 + P_2 = 500 + 1{,}000 = 1{,}500\ \mathrm{W}$$

답: 1,500 W

(2) 피상전력

$$P_a = 2\sqrt{500^2 + 1000^2 - 500 \times 1000} = 1{,}732.05\ \mathrm{VA}$$

답: 1,732.05 VA

(3) 역률

$$\cos\theta = \frac{1{,}500}{1{,}732.05} = 0.87 \quad (86.60\ \%)$$

답: 0.87 (86.60 %)

(4) 1상당 정전용량

$$Q_c = 1{,}500 \times \left(\frac{\sqrt{1 - 0.866^2}}{0.866} - \frac{\sqrt{1 - 0.95^2}}{0.95}\right) = 1{,}500 \times (0.5774 - 0.3287) = 373.00\ \mathrm{var}$$ $$C = \frac{373.00 / 3}{2\pi \times 60 \times 380^2} = 2.28 \times 10^{-6}\ \mathrm{F}$$

답: 2.28 μF

(5) 기동 전류: 답: 1/3배 (0.33배)

(6) 기동 토크: 답: 1/3배 (0.33배)

(7) 2차 효율

$$s = \frac{2{,}000 - 1{,}900}{2{,}000} = 0.05, \qquad \eta_2 = 1 - s = 0.95$$

답: 95.00 %

근거

• 2전력계법: 평형 3상에서 $P_1 = VI\cos(30^\circ + \theta)$, $P_2 = VI\cos(30^\circ - \theta)$
• Δ결선 콘덴서는 선간전압 380 V가 그대로 각 상에 걸린다.
• Y 기동 시 상전압이 $1/\sqrt{3}$ → 선전류 1/3, 토크는 전압 제곱에 비례하므로 1/3
• 2차 입력(공극 출력) : 기계적 출력 = $1 : (1 - s)$